(顶刊)一个简单而快速的基于HV超体积指标的多目标进化算法

news/2024/4/19 19:17:16/

A Simple and Fast Hypervolume Indicator-Based Multiobjective Evolutionary Algorithm

1.摘要

基于HV指标来引导搜索迭代的一个很大问题是计算不同解决方案的HV需要的高额时间。针对这个问题,本文提出一个简单且快速的基于HV计算的FV-MOEA算法,它可以迅速更新不同解决方案带来的HV改进。
FV-MOEA的核心思想是,新解的HV改进仅与原解集的部分解有关。 因此,删除不相关的解可以大大降低FV-MOEA的时间成本。 实验研究表明,FV-MOEA不仅比五个经典MOEA(非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)、Strength Pareto evolutionary algorithm 2(SPEA2)、基于分解的多目标进化算法(MOEA/D)、基于指标的进化算法和基于S-metric选择的进化多目标优化算法(SMS-EMOA)结果的HV更高,而且与其他基于HV指标的MOEA相比也获得了显著的加速。

2.介绍

原文这部分提到很多基于指标改进的多目标优化文献,他们通常都能表现出优于另外两类算法的性能,读者感兴趣可以去原文细看。
作者提到计算HV是基于指标算法的瓶颈。而目前计算HV通常有两类方法,一种是精确计算,一种是近似计算。前者的优点是准确,但耗时。后者刚好相反。而本文提出的FV-MOEA大大改进了计算的时间成本,且能得到准确的HV。

另外,作者提到本文的FV-MOEA特别适合处理动态地在解集里加入和删除一个解的HV变化。

3.FV_MOEA

A . A. A.一个解的HV贡献
这里作者首先设计了一个更差支配式子去删除无关解。定义为:
在这里插入图片描述
如下图所示,假设当前Pareto set为a,b,c,d,e.则a的HV改进为图中阴影部分的矩形
在这里插入图片描述
当使用更差支配式子后,我们可以找出W={w1,w3}。于是点a的HV的改进可以用下面式子计算:
在这里插入图片描述
该式子左边的意思是,参考点为R,当前解集为S(在这为a,b,c,d,e),计算的改进点为一个点a。右边的意思是,参考点R下,a支配的HV减去由W支配的HV。
需要注意的是文中这里没有提到w1-w4是根据b,c,d,e得来的。
有了上面的讨论后,a的HV计算将只与b,d两点有关,这将大大减少重复计算。而关于W的HV计算,文中这里提供了许多参考文献可以直接用来计算,详见原文。

B . B. B.两个解的HV贡献

假设我们要计算a,b两个解的HV。
a,b的HV为下图中的阴影部分:
在这里插入图片描述

首先我们也是用上面式子得到W={w2,w3}。再通过a,b坐标得到点w1。于是a,b两个解的HV可以用下式计算:
在这里插入图片描述
于是假设我们删去了a点,则b的新的HV可以用下式计算:
在这里插入图片描述
其中S’为b,c,d,e。

经过上面讨论,我们可以迅速计算对于一个点删除或增加的HV变化。

C . C. C.选择操作伪码

选择操作伪码
在这里插入图片描述
第1-3行计算了每个pareto解的HV贡献。第5行找出来最小的HV改进的解j。6-9得到了j和任意一个其他解的HV贡献。第10行更新了HV的贡献。第11行删去点j。重复4-11操作。直到剩下N个解作为下一代父代。

算法框架

在这里插入图片描述
第1-2行随机初始化了种群。5-8行生成后代。第9行进行父子代合并。第10行进行非支配排序。11-14利用刚才的排序构建 P g + 1 P_{g+1} Pg+1,15-17行利用快速HV计算,将第i个支配层排序。将结果好的加入 P g + 1 P_{g+1} Pg+1,使得种群数达到NP。

4.总结

这是近些年非常好的文章,基于指标的方法性能从机理上是会比另外两类更好的,但时间必然也会长一些,鱼和熊掌不可兼得呀。

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