(邱维声)高等代数课程笔记:基,维数与坐标

news/2024/2/28 2:18:32

3.5 基,维数与坐标

\quad 本节,继续研究线性空间的结构。一般地,设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。

\quad 首先,我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。

对比其它高等代数教程,邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起!

定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关
(1) V V V 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,,αs} 线性相关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,,αs 线性相关;
(2) V V V 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,,αs} 线性无关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,,αs 线性无关;
(3) V V V 的一个无限子集 S S S 线性相关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 存在 S S S 的一个有限子集线性相关;
(4) V V V 的一个无限子集 S S S 线性无关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ S S S 的任一个有限子集都线性无关。

例 1:平面 π \pi π 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。

定义 2. 极大线性无关集与基:设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 V V V 的一个子集 S S S 如果满足:
(1) S S S 是线性无关的;
(2)对于 ∀ β ∈ V \ S \forall ~ \boldsymbol{\beta} \in V \backslash S  βV\S(如果还有的话),有 S ∪ { β } S \cup \{\boldsymbol{\beta}\} S{β} 线性相关,
则称 S S S V V V 的一个 极大线性无关集

\quad 可以看到,“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了,不过我们需要排除一些意外情况,比如 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}.

\quad 由 前一节 的讨论,我们知道 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 是线性相关的,因此,若 V ≠ { 0 } V \ne \{\boldsymbol{0}\} V={0},则称 V V V 的一个极大线性无关集为 V V V 的一个

\quad 如果将上述定义推广到 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0} 的情形,则需要做一些规定:空集 ϕ \phi ϕ 是线性无关的。之后再进行分析:若 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0},由于
(1) ϕ \phi ϕ 是线性无关的;
(2)对于 0 ∈ V \ ϕ \boldsymbol{0} \in V \backslash \phi 0V\ϕ,有 ϕ ∪ { 0 } = { 0 } \phi \cup \{\boldsymbol{0}\} = \{\boldsymbol{0}\} ϕ{0}={0} 线性相关,
定义 2 ϕ \phi ϕ { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个极大线性无关集,此时,我们称 ϕ \phi ϕ V V V 的一个基。

  • 简单来讲,若规定“空集是线性无关的”,则线性空间的一个极大线性无关集,就是其的一个基。
  • 定义 2 是合理的,但我们一般不会采用这个定义,因为这个定义比较抽象,不太直观。

定义 3. 基:设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 V V V 的一个子集 S S S 若满足:
(1) S S S 是线性无关的;
(2) V V V 中的任一向量可由 S S S 中的有限多个向量线性表出,
则称 S S S V V V 的一个

\quad 另外,
(1)若 S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} S={α1,α2,,αr}(即 S S S 为有限集),也称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r} α1,α2,,αr V V V 的一个(有序)基
(2)规定: ϕ \phi ϕ 是线性无关的;
(3)规定:线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ

\quad 相较于定义 2,在定义 3 的基础上,只能规定"线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ",而由定义 2 是可以直接推出的。

\quad 现在思考一个问题:是否任一个线性空间都有基?答案是肯定的,详情请参见 高等代数——大学创新教材(下册) P 158 ∼ P 159 P_{158}\sim P_{159} P158P159

定义 4. 有限维与无限维
(1)若 V V V 有一个基是 V V V 的有限子集,则称 V V V有限维的
(2)若 V V V 有一个基是 V V V 的无限子集,则称 V V V无限维的

定理 1:若 V V V 是有限维的,则 V V V 的任意两个基所含个数相等。

证明:

\quad 一般地,设向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,,αn} V V V 的一个基,任取 V V V 的另一个基 S S S

(1)若 S S S 所含的向量个数 > n >n >n,则在 S S S 中至少可取 n + 1 n+1 n+1 个向量 β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,,βn+1。显然,向量组 { β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}\} {β1,β2,,βn+1} 可由向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,,αs} 线性表出,由于 n + 1 > n n+1>n n+1>n,因此 β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,,βn+1 线性相关,从而产生矛盾。

(2)设 S S S 中所含向量的个数 ≤ n \le n n,不妨设为 m m m。显然有

{ α 1 , α 2 , ⋯ , α n } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β m } , \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{m}\}, {α1,α2,,αn}{β1,β2,,βm},

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等,因此 m = n m=n m=n.

#

推论:若 V V V 是无限维的,则 V V V 的任意一个基都是无限维的。

定义 5. 维数
(1)若 V V V 是有限维的,则称 V V V 的一个基所含向量的个数为 V V V维数。记作: dim ⁡ V \dim V dimV
(2)若 V V V 是无限维的,则将 V V V 的维数记作 dim ⁡ V = ∞ \dim V = \infty dimV=
(3)若 V = { 0 } V = \{\boldsymbol{0}\} V={0},则 dim ⁡ V = 0 \dim V = 0 dimV=0

命题 1:设 V V V n n n 维的,则 V V V 中任意 n + 1 n+1 n+1 个向量都线性相关。

命题 2:设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} S={α1,α2,,αn} V V V 的一个基,则 V V V 中任一向量 α = a 1 α 1 + ⋯ + a n α n \boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} α=a1α1++anαn 的表出方式唯一。

定义 6. 坐标:设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,,αn} V V V 的一个基,向量 α = a 1 α 1 + ⋯ + a n α n ∈ V \boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} \in V α=a1α1++anαnV,则称 α \boldsymbol{\alpha} α坐标 为:
( a 1 a 2 ⋮ a n ) \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1\\ \boldsymbol{a}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n\\ \end{array} \right) a1a2an

命题 3:设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n,则 V V V 中任意 n n n 个线性无关的向量都是 V V V 的一个基。

命题 4:设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n,若 V V V 中任一向量可由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,,αn 线性表出,则集合 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,,αn} V V V 的一个基。

命题 5:设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n,则 V V V 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成 V V V 的一个基。

命题 6:设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n W W W V V V 的一个子空间,则 dim ⁡ W ≤ dim ⁡ V \dim W \le \dim V dimWdimV

命题 7:向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,,αn 的一个极大线性无关组是 < α 1 , α 2 , ⋯ , α n > <\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}> <α1,α2,,αn> 的一个基。

命题 8:关于向量组的生成子空间,我们有:
( < α 1 , α 2 , ⋯ , α s > = < β 1 , β 2 , ⋯ , β t > ) ⟺ ( { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ) \left( <\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s>=<\boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t> \right) \,\,\Longleftrightarrow \left( \left\{ \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s \right\} \cong \left\{ \boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right\} \right) (<α1,α2,,αs>=<β1,β2,,βt>)({α1,α2,,αs}{β1,β2,,βt})


http://www.ppmy.cn/news/61107.html

相关文章

人工智能基础部分14-蒙特卡洛方法在人工智能中的应用及其Python实现

大家好&#xff0c;我是微学AI&#xff0c;今天给大家介绍一下人工智能基础部分14-蒙特卡洛方法在人工智能中的应用及其Python实现&#xff0c;在人工智能领域&#xff0c;蒙特卡洛方法&#xff08;Monte Carlo Method, MCM&#xff09;被广泛应用于各种问题的求解。本文首先将…

华为开源自研AI框架昇思MindSpore应用案例:ResNet50迁移学习

目录 一、环境准备1.进入ModelArts官网2.使用CodeLab体验Notebook实例 二、数据准备 在实际应用场景中&#xff0c;由于训练数据集不足&#xff0c;所以很少有人会从头开始训练整个网络。普遍的做法是&#xff0c;在一个非常大的基础数据集上训练得到一个预训练模型&#xff0c…

node笔记_读文件(异步读取、流式读取)

文章目录 ⭐前言⭐ 读取文件异步读 readFile读取txt 流式读 createReadStream读取视频 ⭐ 结束 ⭐前言 大家好&#xff0c;我是yma16&#xff0c;本期分享node读取文件。 往期文章 node_windows环境变量配置 node_npm发布包 linux_配置node node_nvm安装配置 node笔记_http服务…

认识JavaBean

什么是JavaBean? JavaBean是指符合特定规范以及定义的Java类&#xff0c;通常用于封装数据&#xff0c;提供访问数据的方法和属性&#xff0c;并且可以被其他程序重用。它具有以下特点&#xff1a; 遵循特定编程规范&#xff1a;JavaBean必须要遵循JavaBean编程规范&#xff…

Android inputflinger系统分析

本文基于Android 12。 一、InputManagerService启动 SystemServer初始化InputManagerService()&#xff0c;然后调用其start()方法。 InputManagerService()构造方法中和start()分别调用了两个native方法&#xff1a; 1.1NativeImpl() 初始化 InputManagerService(Injector…

组件等比例放大——scale和zoom

scale和zoom的区别 zoom的缩放是相对于左上角的&#xff1b;而scale默认是居中缩放&#xff0c;可以通过transform-origin修改基准点zoom的缩放改变了元素占据的空间大小&#xff1b;而scale的缩放占据的原始尺寸不变&#xff0c;页面布局不会发生变化。对文字的缩放规则不一致…

Vben Admin 自学记录 —— Drawer组件的基本使用及练习(持续更新中...)

Drawer 抽屉组件 对 antv 的 drawer 组件进行封装&#xff0c;扩展拖拽&#xff0c;全屏&#xff0c;自适应高度等功能。 Drawer相关使用及概念 练习 —— 在之前table基础上&#xff0c;添加查看功能&#xff0c;点击查看按钮&#xff0c;弹出抽屉显示单条表格数据&#xf…

浏览器安全之XSS跨站脚本

基本概念 跨站脚本&#xff08;Cross-Site Scripting&#xff0c;XSS&#xff09;是一种经常出现在Web应用程序中的计算机安全漏洞&#xff0c;是由于Web应用程序对用户的输入过滤不足而产生的。 攻击者利用网站漏洞把恶意的脚本代码&#xff08;通常包括HTML代码和客户端Javas…

Unity 后处理(Post-Processing) -- (2)创建后处理配置文件

通过前面一小节&#xff0c;我们初步认识了后处理是什么&#xff0c;在Unity中简单的试了试后处理的效果。本节我们来创建一个我们自己的后处理配置文件&#xff08;post-processing profile&#xff09;。 一个后处理配置文件包含了一系列为了达到特定视觉效果的后处理效果的配…

Istio注入SideCar原理

简介 Istio提供一种简单的方式来建立已部署的服务的网络&#xff0c;具备负载均衡&#xff0c;服务到服务认证&#xff0c;监控等等功能&#xff0c;而不需要改动任何服务代码。 简单的说&#xff0c;有了Istio&#xff0c;你的服务就不再需要任何微服务开发框架&#xff08;典…

【AWS入门】AWS CICD

目录 一 .TASK二. 环境准备IAM创建存储库ec2-repoec2-wp 三. Code Deploy创建应用程序创建部署组创建管道部署后的ec2-wp 一 .TASK 创建2台EC2实例&#xff0c;一台名为「ec2-repo」&#xff0c;用作开发环境&#xff0c;将编写好的代码提交至repository(需安装git)&#xff0…

最优化方法Python计算:一元函数搜索算法——二分法

设一元目标函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a 0 , b 0 ] ⊆ R [a_0,b_0]\subseteq\text{R} [a0​,b0​]⊆R&#xff08;其长度记为 λ \lambda λ&#xff09;上为单峰函数&#xff0c;且在 ( a 0 , b 0 ) (a_0,b_0) (a0​,b0​)内连续可导&#xff0c;即其导函数 f ′ ( x ) f…

凌恩生物美文分享|HGTree v2.0:水平基因转移数据库

水平基因转移(HGT)是指遗传物在物种间从一个相邻生物体到另一个生物体横向传递&#xff0c;是原核生物遗传变异的重要过程。HGT是负责塑造原核生物基因组和在自然选择中生存的驱动力之一&#xff0c;对原核生物的进化有很大贡献&#xff0c;但它会使物种进化史复杂化&#xff0…

大厂都用DevOps!十分钟带你了解自动化在DevOps中的运用

Hi&#xff0c;大家好。DevOps、CI/CD、Docker、Kubernetes……好像全世界都在谈论这些技术&#xff0c;以至于你觉得即将到达NoOps阶段。别担心&#xff0c;在工具和各种最佳实践的浩瀚海洋中感到迷失是正常的&#xff0c;是时候让我们来分析一下DevOps到底是什么了。 一、De…

安装ms sql server2000提示安装失败详见sqlstp.log日志

安装ms sql server2000提示安装失败详见sqlstp.log日志 目录 安装ms sql server2000提示安装失败详见sqlstp.log日志 一、可能的情况-其它位置不能有对它的引用 1.1、先安装了Delphi其options-环境变量-其中path中有sql&#xff0c;注册表将其清除 1. 2、注册表搜索-Micro…

Kali 安装中文输入法(超详细)

1.进入管理员下的控制台。 2. 输入密码后点击“授权”。 3.在控制台内输入下面的命令。 apt install fcitx 4.敲击回车后会开始安装&#xff0c;这里输入“y”。 5.回车后会继续进行安装&#xff0c;安装完成后会自动停止。 6.输入下面的命令来安装google输入法。 apt-get in…

【C语言】leetcode每日一题

目录 前言题目描述题目分析代码描述 前言 时间过得真快&#xff0c;马上又要回家了&#xff0c;马上又要开始卷了。不是每朵鲜花都能代表爱情&#xff0c;但是玫瑰做到了&#xff1b;不是每棵树都能耐得住干渴&#xff0c;但是白杨做到了&#xff1b;不是每个人都在追求上进&a…

VS2015+DLL封装实例

需要把几个复杂函数封装起来&#xff0c;包括A.h, B.h以及相应的A.cpp&#xff0c;B.cpp,下面给出具体操作实例。 1、创建DLL工程 文件→新建→项目→win32控制台程序 填写项目名称gfdll→确定→下一步→DLL&#xff08;附加选项→对空项目打√&#xff09;→完成。 2、在工…

7.3 有源滤波电路(1)

对信号的频率具有选择性的电路称为滤波电路&#xff0c;它的功能是使特定频率范围内的信号通过&#xff0c;而阻止其它频率信号通过。有源滤波电路是应用广泛的信号处理电路。 一、滤波电路的基础知识 1、滤波电路的种类 通常&#xff0c;按照滤波电路的工作频带为其命名&am…

【移动端网页布局】流式布局案例 ⑥ ( 多排按钮导航栏 | 设置浮动及宽度 | 设置图片样式 | 设置文本 )

文章目录 一、多排按钮导航栏样式及核心要点1、实现效果2、总体布局设计3、设置浮动及宽度4、设置图片样式5、设置文本 二、完整代码实例1、HTML 标签结构2、CSS 样式3、展示效果 一、多排按钮导航栏样式及核心要点 1、实现效果 要实现下面的导航栏效果 ; 2、总体布局设计 该导…
最新文章