(邱维声)高等代数课程笔记:行列式按一行(列)展开

news/2024/4/15 1:54:21

行列式按一行(列)展开

例题 1:一般地,设 ∣A∣|A|A 是一个三阶行列式,则有

∣A∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32=a11(a22a23−a23a32)−a21(a12a33−a13a32)+a31(a12a23−a13a22)=a11∣a22a23a32a33∣−a21∣a12a13a32a33∣+a31∣a12a13a22a23∣\begin{aligned} |A| &= \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix}\right|\\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\\ &- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}\\ &=a_{11}(a_{22}a_{23}-a_{23}a_{32}) - a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}) + a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}) \\ &= a_{11} \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33} \end{matrix}\right| - a_{21} \left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{31} \left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix}\right| \end{aligned} A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32=a11(a22a23a23a32)a21(a12a33a13a32)+a31(a12a23a13a22)=a11a22a32a23a33a21a12a32a13a33+a31a12a22a13a23

#

\quad 通过 例题 1 可以看到,三阶行列式的计算可以归结为二阶行列式的计算。这种“降阶” 的操作无疑简化了行列式的计算!

\quad 另外,如果我们引入两个概念 余子式代数余子式

  • ∣a22a23a32a33∣\left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33} \end{matrix}\right|a22a32a23a33 称为 a11a_{11}a11余子式,记作 M11M_{11}M11

  • (−1)1+1⋅M11(-1)^{1+1}\cdot M_{11}(1)1+1M11 称为 a11a_{11}a11代数余子式,记作 A11A_{11}A11

  • ∣a12a13a32a33∣\left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right|a12a32a13a33 称为 a21a_{21}a21余子式,记作 M21M_{21}M21

  • (−1)2+1⋅M21(-1)^{2+1}\cdot M_{21}(1)2+1M21 称为 a21a_{21}a21代数余子式,记作 A21A_{21}A21

  • ∣a12a13a22a23∣\left|\begin{matrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{matrix}\right|a12a22a13a23 称为 a31a_{31}a31代数余子式,记作 M31M_{31}M31

  • (−1)3+1⋅M31(-1)^{3+1} \cdot M_{31}(1)3+1M31 称为 a31a_{31}a31代数余子式,记作 A31A_{31}A31.

则显然有:

∣A∣=a11M11−a21M21+a31M31=a11⋅(−1)1+1⋅M11+a21⋅(−1)2+1⋅M21+a31⋅(−1)3+1⋅M31=a11A11+a21A21+a31A31.\begin{aligned} |A| &= a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + a_{31} M_{31}\\ &= a_{11} \cdot (-1)^{1+1}\cdot M_{11} + a_{21} \cdot (-1)^{2+1} \cdot M_{21} + a_{31} \cdot (-1)^{3+1}\cdot M_{31}\\ &= a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}. \end{aligned} A=a11M11a21M21+a31M31=a11(1)1+1M11+a21(1)2+1M21+a31(1)3+1M31=a11A11+a21A21+a31A31.

\quad 可以看到,引入 余子式 以及 代数余子式 之后,进一步简化了行列式的计算公式!

\quad 自然而然地会想:能够将这种操作推广到一般的 nnn 阶行列式呢?

\quad 这种由 “特殊到一般” 的思想,就是 演绎


定义 1. 余子式与代数余子式:一般地,设 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij) 是一个 nnn 级矩阵,∣A∣|A|A 是其行列式,若划去 ∣A∣|A|A 的第 (i,j)(i,j)(i,j) 元所在的第 iii 行、第 jjj 列元素,则剩下的元素按照原顺序可以构成一个 n−1n-1n1 阶行列式,称为 ∣A∣|A|A 的第 (i,j)(i,j)(i,j) 元的 余子式,记作 MijM_{ij}Mij

\quadAij=(−1)i+j⋅MijA_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}Aij=(1)i+jMij,则称 AijA_{ij}Aij∣A∣|A|A 的第 (i,j)(i,j)(i,j) 元的 代数余子式

\quad 由前面的讨论可知,当 n=3n=3n=3 时,

∣A∣=a11A11+a21A21+a31A31|A| = a_{11}A_{11} + a_{21} A_{21} + a_{31}A_{31} A=a11A11+a21A21+a31A31

自然会猜测:对于一般的 nnn 阶行列式,是否成立

∣A∣=∑j=1na1jA1j|A| = \sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j} A=j=1na1jA1j

更一般地,对于给定的 iiii=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,,n),是否成立

∣A∣=∑j=1naijAij|A| = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} A=j=1naijAij


定理 1nnn 级矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij) 的行列式 ∣A∣|A|A 满足

∣A∣=∑j=1naijAij=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin\begin{aligned} |A| &= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \\ &=a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \end{aligned} A=j=1naijAij=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin

其中,i∈{1,2,⋯,n}i \in \{1,2,\cdots,n\}i{1,2,,n}.

证明:

\quad 取定 AAA 的第 iii 行,将 aija_{ij}aij 排在第一位,即:

∣A∣=∑jk1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)τ(i1⋯(i−1)(i+1)⋯n)+τ(jk1⋯kj−1kj+1⋯kn)aija1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn|A| = \sum_{j k_{1}\cdots k_{i-1} k_{i+1}\cdots k_{n}}(-1)^{\tau(i1\cdots (i-1)(i+1)\cdots n) + \tau(jk_{1}\cdots k_{j-1}k_{j+1}\cdots k_{n})}a_{ij}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{n,k_{n}} A=jk1ki1ki+1kn(1)τ(i1(i1)(i+1)n)+τ(jk1kj1kj+1kn)aija1k1ai1,ki1ai+1,ki+1an,kn

其中,K1,k2⋯,ki−1,ki+1,⋯,kn∈{1,2,⋯,n}−{j}K_{1},k_{2}\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\cdots,k_{n} \in \{1,2,\cdots,n\}-\{j\}K1,k2,ki1,ki+1,,kn{1,2,,n}{j}.

\quad 注意,

τ(i1⋯(i−1)(i+1)⋯n)=i−1\tau(i1\cdots (i-1)(i+1)\cdots n) = i-1 τ(i1(i1)(i+1)n)=i1

τ(jk1⋯ki−1ki+1⋯kn)=j−1+τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)\tau(jk_{1}\cdots k_{i-1} k_{i+1}\cdots k_{n}) = j-1 + \tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n}) τ(jk1ki1ki+1kn)=j1+τ(k1ki1ki+1kn)

于是,

∣A∣=∑jk1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)i+j⋅(−1)τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)aija1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn=∑j=1n(−1)i+j⋅aij∑k1⋯ki−1ki+1⋯kn(−1)τ(k1⋯ki−1ki+1⋯kn)a1k1⋯ai−1,ki−1ai+1,ki+1⋯an,kn=∑j=1naij⋅(−1)i+j⋅Mij=∑j=1naijAij\begin{aligned} |A| &= \sum_{j k_{1}\cdots k_{i-1} k_{i+1}\cdots k_{n}}(-1)^{i+j} \cdot (-1)^{\tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n})} a_{ij}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{n,k_{n}}\\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij} \sum_{k_{1\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n}}} (-1)^{\tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n})}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}} a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{n,k_{n}}\\ &= \sum_{j=1}^{n}a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\\ &= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \end{aligned} A=jk1ki1ki+1kn(1)i+j(1)τ(k1ki1ki+1kn)aija1k1ai1,ki1ai+1,ki+1an,kn=j=1n(1)i+jaijk1ki1ki+1kn(1)τ(k1ki1ki+1kn)a1k1ai1,ki1ai+1,ki+1an,kn=j=1naij(1)i+jMij=j=1naijAij

#


\quad 由于行列式的行与列具有对称性,因此,不难得到 定理 2

定理 2nnn 级矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij) 的行列式 ∣A∣|A|A 满足

∣A∣=∑l=1naljAlj=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj\begin{aligned} |A| &= \sum_{l=1}^{n}a_{lj}A_{lj}\\ &= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \end{aligned} A=l=1naljAlj=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj

其中,j∈{1,2,⋯,n}j \in \{1,2,\cdots,n\}j{1,2,,n}.

证明:

\quad 由行列式的性质 1,∣A∣=∣A′∣|A| = |A'|A=A.

\quad 对行列式 ∣A′∣|A'|A 按第 jjj 行展开,相当于对 ∣A∣|A|A 按第 jjj 列展开,于是

∣A′∣=∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj|A'| = |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} A=A=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj

#


\quad 之后,介绍 定理 1定理 2 相关的一些应用。

定理 3:设 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)nnn 级矩阵。当 k≠ik\ne ik=i 时,

ai1Ak1+ai2Ak2+⋯ainAkn=0a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots a_{in}A_{kn} = 0 ai1Ak1+ai2Ak2+ainAkn=0

证明:

\quad 对于等式左边,可以构造一个行列式

∣B∣=∣a11⋯an1⋮⋯⋮ai1⋯ain⋮⋯⋮ai1⋯ain⋮⋯⋮an1⋯ann∣|B| = \left|\begin{matrix} a_{11} &\cdots &a_{n1}\\ \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{i1} &\cdots &a_{in}\\ \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{n1} &\cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| B=a11ai1ai1an1an1ainainann

其中,∣B∣|B|B 的第 iii 行与第 kkk 行的元素对应相等。由行列式的性质 5 可知,∣B∣=0|B|=0B=0.

#

\quad同理可证 定理 4.

定理 4:设 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)nnn 级矩阵。当 l≠jl\ne jl=j 时,

a1lA1j+a2lA2j+⋯anlAnj=0a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots a_{nl}A_{nj} = 0 a1lA1j+a2lA2j+anlAnj=0


\quad 最后,介绍一个重要的概念 VanderMonder 行列式

∣11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)\left|\begin{matrix} 1 & 1 &\cdots &1\\ a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n}\\ a_{1}^{2} &a_{2}^{2} &\cdots &a_{n}^{2}\\ \vdots &\vdots & & \vdots\\ a_{1}^{n-1} &a_{2}^{n-1} &\cdots &a_{n}^{n-1} \end{matrix}\right| = \prod_{1\le j<i\le n}{\left( a_i-a_j \right)} 1a1a12a1n11a2a22a2n11anan2ann1=1j<in(aiaj)


参考

  • 邱维声. 高等代数课程.

http://www.ppmy.cn/news/41997.html

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