1.1 解线性方程组的矩阵消元法

$\quad$ 前面说过，高等代数实质上是在解决数个大问题，线性方程组的求解问题是高等代数中的第一个大问题。本节将介绍线性方程组的一种解法——矩阵消元法。

$\quad$ 对于求解线性方程组，在中学阶段，我们已经学习过 加减消元法 以及 代入消元法。这两种消元法对于求解方程个数较多的方程组来说太过随意（每一步能消元就行，两种方法任意用）。我们期望能够找到一种更加规范、统一的方法，使得可以使用计算机进行处理，这就是本节所要介绍的矩阵消元法。

$\quad$ 结合中学的数学知识，很容易对 例 1 作如下求解。

例 1：

${x1+3x2+x3=23x1+4x2+2x3=9−x1−5x2+x3=102x1+7x2+x3=1\begin{cases} x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 2 \\ 3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = 9 \\ - x_{1} - 5 x_{2} + x_{3} = 10 \\ 2 x_{1} + 7 x_{2} + x_{3} = 1 \end{cases}$

解：

$\quad$ 对上述方程组中的方程组依次标序： ①、②、③、④。

$\quad$ 作如下操作：② + ① x (-3)、③ + ① x 1、④ + ① x (-2) 得：

${x1+3x2+x3=2−5x2−x3=3−2x2+5x3=12x2−x3=−3\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} &= 2 \\ -5 x_{2} - x_{3} &= 3 \\ -2 x_{2} + 5 x_{3} &= 12 \\ x_{2} - x_{3} &= -3 \end{aligned} \end{cases}$

$\quad$ 为了方便处理，调换 (②,④) 得：

${x1+3x2+x3=2x2−x3=−3−2x2+5x3=12−5x2−x3=3\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} &= 2 \\ x_{2} - x_{3} &= -3 \\ -2 x_{2} + 5 x_{3} &= 12 \\ -5 x_{2} - x_{3} &= 3 \end{aligned} \end{cases}$

$\quad$ 作如下操作：③ + ② x 2、④ + ② x 5 得：

${x1+3x2+x3=2x2−x3=−33x3=6−6x3=12\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} &= 2 \\ x_{2} - x_{3} &= -3 \\ 3 x_{3} &= 6 \\ -6 x_{3} &= 12 \end{aligned} \end{cases}$

$\quad$ 作如下操作：④ + ③ x 2、③ x (1/3) 得：

${x1+3x2+x3=2x2−x3=−3x3=2\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} &= 2 \\ x_{2} - x_{3} &= -3 \\ x_{3} &= 2 \end{aligned} \end{cases}$

$\quad$ 代入消元，将 $x_{3} = 2$ 代入 ② 可得 $x_{2} = -1$ ，再将 $x_{2} = -1,x_{3} = 2$ 代入 ① 可得 $x_{1} = 3$ .

$\quad$ 综上，方程组的解为：

${x1=3x2=−1x3=2\begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = -1 \\ x_{3} = 2 \end{cases}$

$\quad$ 可以看出，在 例 1 的求解过程中，实质上只是进行了系数的运算，未知量的作用仅为标明次序，并未参与运算。

$\quad$ 下面，我们用 增广矩阵 表示各个过程。

$(13123429−1−54102711)→②+①×(−3)③+①×1④+①×(−2)(13120−5−130−251201−1−3)→(②,④)(131201−1−30−25120−5−1−3)→③+②×2④+②×5(131201−13003600−6−12)→④+③×2(131201−1300360000)\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 3& 4& 2& 9\\ -1& -5& 4& 10\\ 2& 7& 1& 1\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned} &②+①\times \left( -3 \right)\\ &③+①\times 1\\ &④+①\times \left( -2 \right)\\ \end{aligned}}\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 0& -5& -1& 3\\ 0& -2& 5& 12\\ 0& 1& -1& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\left( ②,④ \right)}\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& -2& 5& 12\\ 0& -5& -1& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} ③+②\times 2\\ ④+②\times 5\\ \end{array}}\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& 3& 6\\ 0& 0& -6& -12\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{④+③\times 2}\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& 3& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)$

$\quad$ 根据最后一个矩阵，列出与之对应的线性方程组：

$(131201−1300360000)⟷{x1+3x2+x3=2x2−x3=−33x3=6.\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& 3& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \longleftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x_1+3x_2+x_3&=2\\ x_2-x_3&=-3\\ 3x_3&=6. \end{aligned}\end{cases}$

$\quad$ 可以抽象出 “阶梯形矩阵” 的概念。

阶梯形矩阵：满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵。

$0$ 行都在下方；
主元（首个非 $0$ 元）的列指标随着行指标的增加而严格增大。

$\quad$ 若对 例 1 得到的 阶梯形矩阵 继续 “操作”，则有：

$(131201−1300360000)→②+③×1①+③×(−1)(1300010−100120000)→①+②×(−3)(1003010−100120000)\left( \begin{matrix} 1& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& 3& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned} &② + ③\times 1 \\ &① + ③\times (-1) \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \xrightarrow{① + ②\times (-3) } \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$

$\quad$ 根据最后一个矩阵，列写出与之对应的线性方程组：

$(1003010−100120000)⟷{x1=3x2=−1x3=2\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \longleftrightarrow \begin{cases} x_1 = 3 \\ x_{2} = -1 \\ x_{3} = 2 \end{cases}$