线性代数的本质——1 向量

news/2024/2/27 21:24:05

向量是线性代数中最为基础的概念。

何为向量?

        从物理上看, 向量就是既有大小又有方向的量,只要这两者一定,就可以在空间中随便移动。

        从计算机应用的角度看,向量和列表很接近,可以用来描述某对象的几个不同属性, 比如长2宽3,就可以写成\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}

        数学上给出最为广义的定义,一切对于相加和数乘有意义的都可以是向量。这实际上暗示了这两种运算会贯穿整个线性代数。

一种思考方式

        一种很好的思考向量的方式是:看到一个向量,想到一个箭头,它落在某个坐标系,且起点大多数时候固定在原点。

        这与上述的第一种定义契合,即“向量是空间中的箭头”。

        现在再看第二种定义,即“向量是有序的数字列表”:在定义了单位长度之后,我们就可以给出一个向量的坐标,这就是一个有序列表,它指示我们如何从向量的出发点(原点)到达向量的尖端。比如\begin{bmatrix} -2\\ 3 \end{bmatrix},告诉我们应该先沿着x轴负方向走2单位,再沿着y轴正方向走3个单位。

        每个有序列表对应唯一一个箭头,每个箭头对应唯一一个有序列表。

向量相加

        现在来考虑两种最基本运算中的加法。

        几何上看

        沿用上述的思考方式,定义中的向量相加,就是把两个箭头首尾相接,然后画一个从前一个向量的首(原点)到后一个向量的尾的向量,这个向量就是结果。像这样

        但为什么要这样定义, 而不是从首到首呢?像这样

        因为往往将向量看作一个特定的运动,从首到尾, 按这种定义,向量的和就是先后沿着两个向量运动的整体上的结果,具有很直观的意义。

        实际上,如果把这种加法放到一维坐标系(数轴)上,其实就是在数轴上做数字加减的方法。

        代数上看

        第一个向量坐标是(1, 2)第二个向量坐标是(3, -1)。

        前面提到过,这个坐标指示我们如何通过先后沿平行x轴和y轴的方向移动,从一个向量的首走到尾,那么对于两个首位相接的向量,我们做加法的任务就是找出类似的这种方案,从第一个向量的首走到第二个向量的尾。

        在得到这个方案之前,我们只知道,先走第一个向量,再紧接着走第二个向量,按坐标给出的信息,这是一个4步的方案:x轴1,y轴2,x轴3,y轴-1。我们要得到的方案是两步的,也就是x轴几,y轴几。

        因为x轴和y轴上的行走是独立的,所以我们可以交换顺序,先做水平运动,再做竖直运动。整体上看,就等同于在x轴走(1+3)在y轴走(2-1)。这样我们就找到了我们要找的方案。

       \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+3\\ 2+(-1) \end{bmatrix}

        这样我们也就推出了向量的加法法则,也知道了为什么要这样加。即有

\begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_2\\ y_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2 \end{bmatrix}

向量数乘 

        对向量乘上一个数,本质上就是在做缩放(scaling)

        拉伸或压缩,如果有负号就反向。

         这个用来缩放(scaling)的数,英文上很自然的可以叫做scalar,确实有这个词,而它的中文翻译是标量。所以标量其实就可以理解成用来缩放向量的东西。在线性代数中,标量的作用基本上就是用来缩放向量。

        数乘的运算法可以用相似推出来, 就是对每个分量分别乘上标量。

a\begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ax_1\\ ay_1 \end{bmatrix} 

实际上,无论从哪个角度来看待向量都可,线性代数的效用很少仅仅体现在其中一个角度上,而是体现在这些不同角度的相互转化中。


http://www.ppmy.cn/news/1350017.html

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