线性代数的本质——1 向量

news/2024/11/14 0:00:40/

向量是线性代数中最为基础的概念。

何为向量?

        从物理上看, 向量就是既有大小又有方向的量,只要这两者一定,就可以在空间中随便移动。

        从计算机应用的角度看,向量和列表很接近,可以用来描述某对象的几个不同属性, 比如长2宽3,就可以写成\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}

        数学上给出最为广义的定义,一切对于相加和数乘有意义的都可以是向量。这实际上暗示了这两种运算会贯穿整个线性代数。

一种思考方式

        一种很好的思考向量的方式是:看到一个向量,想到一个箭头,它落在某个坐标系,且起点大多数时候固定在原点。

        这与上述的第一种定义契合,即“向量是空间中的箭头”。

        现在再看第二种定义,即“向量是有序的数字列表”:在定义了单位长度之后,我们就可以给出一个向量的坐标,这就是一个有序列表,它指示我们如何从向量的出发点(原点)到达向量的尖端。比如\begin{bmatrix} -2\\ 3 \end{bmatrix},告诉我们应该先沿着x轴负方向走2单位,再沿着y轴正方向走3个单位。

        每个有序列表对应唯一一个箭头,每个箭头对应唯一一个有序列表。

向量相加

        现在来考虑两种最基本运算中的加法。

        几何上看

        沿用上述的思考方式,定义中的向量相加,就是把两个箭头首尾相接,然后画一个从前一个向量的首(原点)到后一个向量的尾的向量,这个向量就是结果。像这样

        但为什么要这样定义, 而不是从首到首呢?像这样

        因为往往将向量看作一个特定的运动,从首到尾, 按这种定义,向量的和就是先后沿着两个向量运动的整体上的结果,具有很直观的意义。

        实际上,如果把这种加法放到一维坐标系(数轴)上,其实就是在数轴上做数字加减的方法。

        代数上看

        第一个向量坐标是(1, 2)第二个向量坐标是(3, -1)。

        前面提到过,这个坐标指示我们如何通过先后沿平行x轴和y轴的方向移动,从一个向量的首走到尾,那么对于两个首位相接的向量,我们做加法的任务就是找出类似的这种方案,从第一个向量的首走到第二个向量的尾。

        在得到这个方案之前,我们只知道,先走第一个向量,再紧接着走第二个向量,按坐标给出的信息,这是一个4步的方案:x轴1,y轴2,x轴3,y轴-1。我们要得到的方案是两步的,也就是x轴几,y轴几。

        因为x轴和y轴上的行走是独立的,所以我们可以交换顺序,先做水平运动,再做竖直运动。整体上看,就等同于在x轴走(1+3)在y轴走(2-1)。这样我们就找到了我们要找的方案。

       \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+3\\ 2+(-1) \end{bmatrix}

        这样我们也就推出了向量的加法法则,也知道了为什么要这样加。即有

\begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_2\\ y_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2 \end{bmatrix}

向量数乘 

        对向量乘上一个数,本质上就是在做缩放(scaling)

        拉伸或压缩,如果有负号就反向。

         这个用来缩放(scaling)的数,英文上很自然的可以叫做scalar,确实有这个词,而它的中文翻译是标量。所以标量其实就可以理解成用来缩放向量的东西。在线性代数中,标量的作用基本上就是用来缩放向量。

        数乘的运算法可以用相似推出来, 就是对每个分量分别乘上标量。

a\begin{bmatrix} x_1\\ y_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ax_1\\ ay_1 \end{bmatrix} 

实际上,无论从哪个角度来看待向量都可,线性代数的效用很少仅仅体现在其中一个角度上,而是体现在这些不同角度的相互转化中。


http://www.ppmy.cn/news/1350017.html

相关文章

利用Python和pandas库进行股票技术分析:移动平均线和MACD指标

利用Python和pandas库进行股票技术分析:移动平均线和MACD指标 介绍准备工作数据准备计算移动平均线计算MACD指标结果展示完整代码演示 介绍 在股票市场中,技术分析是一种常用的方法,它通过对股票价格和交易量等历史数据的分析,来…

备战蓝桥杯---组合数学基础1

让我们来几道高中的组合题吧: 1.我们一定有n个向下,为 2.我们挑最大的两个,条件是他们奇偶性相同,为2*A10,2; 3.用捆绑法即可。 4.我们用隔板法,为 5.问题等价于23个相同的球放到3个盒子里,每个盒子至少…

golang设置

golangci-lint 代码检查工具的集合,聚集了多种 Go 代码检查工具,如 golint 会自动查找项目中的 .golangci.yml 配置文件 会检查代码中潜在常见问题以及代码风格问题 # 文档:https://golangci-lint.run/ # https://github.com/golangci/golang…

[2024]常用的pip指令

[2024]常用的pip指令 HI,这里是肆十二,好久不见,大家! 新年好! pip是Python的包管理工具,它可以用来安装、升级、卸载Python包。以下是一些常用的pip指令: 安装包: bash复制代码…

【Python】洛谷P4325 [COCI2006-2007#1] Modulo

P4325 [COCI2006-2007#1] Modulo 题面翻译 给出 10 10 10 个整数,问这些整数除以 42 42 42 后得到的余数有多少种。 第一个样例的十个结果是 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,有 10 10 10 个不…

Vscode SSH使用云服务器访问内网主机

Vscode SSH使用云服务器访问内网主机 云服务器在配置策略中开放使用到的端口号,比如250和251作为使用。 首先在内网主机上使用ssh-copy-id root云服务器公网IP,将内网主机的公钥放到服务器上 这一步必须完成,不然下面的命令无法成功建立隧…

精读《js 模块化发展》

1 引言 如今,Javascript 模块化规范非常方便、自然,但这个新规范仅执行了 2 年,就在 4 年前,js 的模块化还停留在运行时支持,10 年前,通过后端模版定义、注释定义模块依赖。对经历过来的人来说,…

Hadoop:认识MapReduce

MapReduce是一个用于处理大数据集的编程模型和算法框架。其优势在于能够处理大量的数据,通过并行化来加速计算过程。它适用于那些可以分解为多个独立子任务的计算密集型作业,如文本处理、数据分析和大规模数据集的聚合等。然而,MapReduce也有…